【题目】阅读材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,过点B作射线BE,点D为射线BE上的点,连接AD、CD,且∠BDC=∠BAC,求证:AD平分∠CDE.小明认真观察图形,又发现一对相等的角,利用相等的一对角和一对边,过点A作双垂直,构造全等三角形,如图2,从而将问题解决.
(1)根据阅读材料,证明AD平分∠CDE;
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
(2)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF(点C的对应点为点F),连接BE、FC,延长FC交B于点M.
①找出图中与∠BCM相等的角,并加以证明;
②猜想线段CF与BM之间的数量关系(用含α的式子表示),并证明你的猜想.
【答案】(1)见解析;(2)①∠BCM=∠EFM,理由见解析;②猜想:FC=2BMcosα,理由见解析。
【解析】
(1)如图2中,作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.利用全等三角形的性质证明AM=AN即可.
(2)①结论:∠BCM=∠EFM.利用等角的余角相等证明即可;②猜想:FC=2BMcosα.如图3中,连接AM,设AE交FM于点O.首先证明AM⊥BE,再利用相似三角形的性质即可证明.
(1)证明:如图2中,作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N.
∵∠BDF=∠CAF,∠DFB=∠AFC,
∴∠DBF=∠ACF,
∵∠AMB=∠ANC=90°,∠ABM=∠ACN,AB=AC,
∴△ABM≌△ACN(AAS),
∴AM=AN,∵AM⊥DM,AN⊥DN,
∴AD平分∠CDE.
(2)解:①结论:∠BCM=∠EFM.
理由:如图3中,∵AC=AF,
∴∠ACF=∠AFC,
∵∠ACB=∠AFE=90°,
∴∠ACF+∠BCM=90°,∠AFC+∠MFE=90°,
∴∠BCM=∠EFM.
③猜想:FC=2BMcosα.
理由:如图3中,连接AM,设AE交FM于点O.
∵∠CAB=∠EAF=α,
∴∠BAE=∠CAF,
∵AC=AF,AE=AB,
∴∠AFC=∠ACF=∠AEB=∠ABE,
∵∠AOF=∠MOE,
∴△AOF∽△MOE,
∴,
∴,∵∠EOF=∠AOM,
∴△EOF∽△MOA,
∴∠OAM=∠EFO,
∵∠OFO=∠∠OEM,∠OFA+∠EFO=90°,
∴∠OAM+∠OEM=90°,
∴∠AME=90°,
∵AE=AB,
∴BM=BE,
∵△FAC∽△EAB,
∴=cosα,
∴=cosα,
∴FC=2BMcosα.
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【题目】如图,经过正方形网格中的格点、、、,请你仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列两个条件的:
(1)顶点在上且不与点、、、重合;
(2)在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2.
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【题目】为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度;
(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
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【题目】为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x | …… | ﹣1 | 0 | 1 | 4 | …… |
y | …… | 12 | 6 | 2 | 2 | …… |
(1)求二次函数的解析式;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c﹣2>0的解集是 .
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【题目】大熊山某农家乐为了抓住“五一”小长假的商机,决定购进A、B两种纪念品。若购进A种纪念品4件,B种纪念品3件,需要550元;若购进A种纪念品8件,B种纪念品5件,需要1050元。
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元。
(2)若该农家乐决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该农家乐共有几种进货方案。
(3)若销售每件A种纪念品可获利润30元,每件B种纪念品可获利润20元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元。
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【题目】在甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字0,1,2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=-x+1的图象上的概率;
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【题目】下列说法:①如果a2>b2,那么a>b;②的算术平方根是4;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④关于x的方程没有实数根,那么m的取值范围是m>1且m≠0;正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
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【题目】如图,直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0),……直线ln⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点A1、A2、A3、…、An;函数y=2x的图象与直线l1、l2、l3、…、ln分别交于点B1、B2、B3、…、Bn.如果△OA1B1的面积记作S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,…,四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn,那么S2018=( )
A. 2017.5B. 2018C. 2018.5D. 2019
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