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【题目】阅读材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在ABC中,ABAC,过点B作射线BE,点D为射线BE上的点,连接ADCD,且∠BDC=∠BAC,求证:AD平分∠CDE.小明认真观察图形,又发现一对相等的角,利用相等的一对角和一对边,过点A作双垂直,构造全等三角形,如图2,从而将问题解决.

1)根据阅读材料,证明AD平分∠CDE

用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:

2)如图3,在RtABC中,∠ACB90°,∠Aα,将RtABC绕点A逆时针旋转得到AEF(点C的对应点为点F),连接BEFC,延长FCB于点M

①找出图中与∠BCM相等的角,并加以证明;

②猜想线段CFBM之间的数量关系(用含α的式子表示),并证明你的猜想.

【答案】1)见解析;(2)①∠BCM=∠EFM,理由见解析;②猜想:FC2BMcosα,理由见解析。

【解析】

1)如图2中,作AMBEMANCDN.利用全等三角形的性质证明AMAN即可.

2)①结论:∠BCM=∠EFM.利用等角的余角相等证明即可;②猜想:FC2BMcosα.如图3中,连接AM,设AEFM于点O.首先证明AMBE,再利用相似三角形的性质即可证明.

1)证明:如图2中,作AMBEMANCDN

∵∠BDF=∠CAF,∠DFB=∠AFC

∴∠DBF=∠ACF

∵∠AMB=∠ANC90°,∠ABM=∠ACNABAC

∴△ABM≌△ACNAAS),

AMAN,∵AMDMANDN

AD平分∠CDE

2)解:①结论:∠BCM=∠EFM

理由:如图3中,∵ACAF

∴∠ACF=∠AFC

∵∠ACB=∠AFE90°

∴∠ACF+BCM90°,∠AFC+MFE90°

∴∠BCM=∠EFM

③猜想:FC2BMcosα

理由:如图3中,连接AM,设AEFM于点O

∵∠CAB=∠EAFα

∴∠BAE=∠CAF

ACAFAEAB

∴∠AFC=∠ACF=∠AEB=∠ABE

∵∠AOF=∠MOE

∴△AOF∽△MOE

,∵∠EOF=∠AOM

∴△EOF∽△MOA

∴∠OAM=∠EFO

∵∠OFO=∠∠OEM,∠OFA+EFO90°

∴∠OAM+OEM90°

∴∠AME90°

AEAB

BMBE

∵△FAC∽△EAB

cosα

cosα

FC2BMcosα

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x

……

1

0

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4

……

y

……

12

6

2

2

……

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1)求购进AB两种纪念品每件各需多少元。

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