Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．

（1）求证：BE平分∠ABC；

（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由切线的性质可知OE⊥AC，从而可证明OE∥BC，由平行线的性质可知∠OEB=∠EBC，由OE=OB可知∠OEB=∠OBE，于是得到∠OBE=∠EBC；

（2）过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．（2）如图2所示：过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．由等腰三角形三线合一的性质可知：DF=BF，由CD：BD=1：2可知CD=DF=FB，然后根据由三角是直角的四边形为矩形可知四边形OECF为矩形，于是得到CF=EO，从而可证明△ODB为等边三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得BC=，故此可求得CD=．

（1）证明：连接OE．

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE．

∵AC与⊙O相切，

∴OE⊥AC，即∠OEA=90°．

∴∠C=∠OEA=90°，

∴OE∥BC．

∴∠OEB=∠EBC．

∴∠OBE=∠EBC．

∴BE平分∠ABC．

（2）如图2所示：过O作OF⊥BC于点F，连接OD，OE．

∵OD=OB，OF⊥BD，

∴DF=BF．

∵CD：BD=1：2，

∴CD=DF=FB．

∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，

∴四边形OECF为矩形．

∴CF=EO．

∴OE=BD=OD=OB．

∴△ODB为等边三角形．

∴∠ABC=60°．

∵AC=4，

∴BC=．

∴CD=×BC=．