Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D．
（1）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径；
（2）连接CD，设∠BDC=α，∠ABC=β，探究α与β之间的关系式，并给予适当的说明．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）设⊙O的半径为r，则EO=r-2，在Rt△BOE中，根据勾股定理可得r²=4²+（r-2）²，再解出r即可；
（2）连接CD，根据直径所对的圆周角为90°可得∠A+β=90°，根据圆内接四边形对角互补可得∠A+α=180°，进而可得α-β=90°．

解答：解：（1）设⊙O的半径为r，即BO=DO=r，
∵ED=2，
∴EO=r-2，
∵DO⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
在Rt△BOE中，r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5；

（2）α-β=90°，
理由：连接CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠A+β=90°，
∵∠A+α=180°，
∴α-β=90°．

点评：此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，以及圆内接四边形，关键是掌握垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．