Question

19．如图，已知?ABCD，E是DC延长线上一点．AE交BD于点G、交BC于点F．
（1）求证：AG²=EG•FG；
（2）若AG=6，FG=4，求EF的长；
（3）求证：DG²：BG²=EG：FG．

Answer 1

分析 （1）运用平行四边形的性质证明△ADG∽△EBG，△DGF∽△BGA，列出比例式进行比较、分析、归纳、总结，即可解决问题；
（2）由（1）知AG²=EG•FG，把AG=6，FG=4代入，即可求得结果；
（3）由（1）AG：GE=BG：DG，两边平方得AG²：GE²=BG²：DG²，由于AG²=EG•FG；代入即可求得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，AD∥BF；
∴△ABG∽△EDG，△BGF∽△DGA，
∴AG：GE=BG：DG，FG：AG=BG：DG，
∴AG：EG=FG：AG，
∴AG²=EG•FG；

（2）解：由（1）知AG²=EG•FG，
∵AG=6，FG=4，
∴EG=9，
∴EF=5；

（3）证明：由（1）AG：GE=BG：DG，
∴AG²：GE²=BG²：DG²，
∵AG²=EG•FG；
∴DG²：BG²=EG：FG．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．