Question

14．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数y₂=$\frac{k_2}{x}$的图象分别交于点M、N，已知△AOB的面积为3，点M的纵坐标为4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点N的坐标并直接写出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由一次函数的解析式为y₁=k₁x+1，求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，可得到k₁的值，从而求出一次函数的解析式；进而得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）y₁＞y₂即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的上方时自变量的取值范围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y₁＞y₂．

解答 解：（1）设B点的坐标为（b，0）点A的坐标为（0，2），
由△AOB的面积为3，得$\frac{1}{2}$b×2=3，
∴b=3，
∴点B的坐标为（3，0）
又∵点B在一次函数y₁=k₁x+2的图象上
∴0=3k₁+2，
解得k₁=$-\frac{2}{3}$，
∴一次函数的解析式为y₁=$-\frac{2}{3}x+2$，
由点M在在一次函数y₁=$-\frac{2}{3}x+2$的图象上，点M纵坐标为4，
点M坐标为（-3，4）
代入y₂=$\frac{k2}{x}$中，
∴k₂=-12
∴反比例函数的解析式的解析式为y₂=$-\frac{12}{x}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x+2\\ y=-\frac{12}{x}\end{array}\right.$得N（6，-2），
x＜-3或0＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．