Question

1．如图，已知射线MN表示一艘轮船的航线路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，A处到M处为80海里．
（1）求点A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有点B，且∠MAB=15°，若轮船的速度为40海里/时，求轮船从M处到B处所用时间为多少分钟．（结果保留到整数位，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥MN于H．由方向角的定义可知∠QMB=30°，∠QMA=60°，那么∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．解直角△AMH中，得出AH=$\frac{1}{2}$AM=40海里，MH=$\sqrt{3}$AH=40$\sqrt{3}$海里；
（2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM=60°，由∠MAB=15°，得出∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，那么△AHB是等腰直角三角形，得出BH=AH=40海里，
由MH=40$\sqrt{3}$海里，那么MB=（40$\sqrt{3}$-40）海里，然后根据时间=路程÷速度即可求解．

解答 解：（1）如图，过A作AH⊥MN于H．
∵∠QMB=30°，∠QMA=60°，
∴∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．
在直角△AMH中，∵∠AHM=90°，∠AMH=30°，AM=80海里，
∴AH=$\frac{1}{2}$AM=40海里，MH=$\sqrt{3}$AH=40$\sqrt{3}$海里，
即点A到航线MN的距离为40海里；

（2）在直角△AMH中，∵∠AHM=90°，∠AMH=30°，
∴∠HAM=60°，
∵∠MAB=15°，
∴∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，
∵∠AHB=90°，
∴BH=AH=40海里，
∵MH=40$\sqrt{3}$海里，
∴MB=（40$\sqrt{3}$-40）海里，
∴轮船从M处到B处所用时间为：$\frac{40\sqrt{3}-40}{40}$=$\sqrt{3}$-1≈0.732（小时），
0.732小时=43.92分≈44分
答：轮船从M处到B处所用时间约为44分钟．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．