Question

13．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=2$\sqrt{2}$，所以EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1；设F点坐标为（t，-t+2），则E点坐标为（t+1，-t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=$\frac{1}{2}$，这样可确定E点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
由直线y=-x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB=2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1，
设F点横坐标为t，代入y=-x+2，则纵坐标是-t+2，则F的坐标是：（t，-t+2），E点坐标为（t+1，-t+1），
∴t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=$\frac{1}{2}$，
∴E点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴k=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．