Question

如图，抛物线y=ax²-bx-2交x轴于A（-1，0）、B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AB上一点，过D点作DE∥AC交抛物线于M，交y轴于N，若CM=AN，求D点坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移，交原抛物线于点P，点Q在x轴上，问是否存在点Q使△CPQ是以PC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，有：
，解得
∴抛物线的解析式：y=x²-x-2．

（2）由（1）的抛物线知：A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，AC==；
直线AC：y=-2x-2．
通过图示可看出，当点M位于y轴右侧时，CM＞AN，所以点M必在y轴右侧；
①当点N在x轴上方时，如图①；
此时，四边形ACMN是等腰梯形，则有：
∠MAC=∠NCA，tan∠MAC=tan∠NCA=；
过点F作FG⊥AC于G，设FG=x，有：AG=GC=2x，AF=CF=x；
∵AC=AG+GC=4x=，x=，FC=x=，
∴OF=OC-FC=2-=，F（0，-）；
∴直线AF：y=-x-，联立抛物线的解析式有：
，解得（舍）、
∴M（，-）
由于直线MN∥AC，设直线MN：y=-2x+h，则有：
-5+h=-，h=
∴直线MN：y=-2x+，则D（，0）；
②当点N在x轴下方时，如图②，此时四边形ACMN是平行四边形；
∵点A、M关于CN的中点对称，∴点M的横坐标为 1，则M（1，-3）；
同①可求得直线MN：y=-2x-1，得 D（-，0）；
综上，点D的坐标为（，0）或（-，0）．

（3）由题意知：点P、Q都在y轴的右侧，可设Q（x，0）（x＞0），过点P作PH⊥x轴于点H；
分两种情况讨论：
①点Q在点C、P之间，如图①；
∵△CPQ是等腰直角三角形，且CP是底边，
∴∠CQP=90°，CQ=QP；
∵
∴△CQO≌△QPH，则：PH=OQ=x，QH=OC=2，OH=OQ+QH=x+2
∴点P可表示为（x+2，-x），代入抛物线解析式有：
-x=（x+2）²-（x+2）-2，解得 x=（负值舍去）
∴Q₁（，0）；
②点Q在点P右侧时，如图②；
同①可证得：△OCQ≌△HQP，∴HQ=CO=2，PH=OQ=x，OH=OQ-HQ=x-2，则 P（x-2，x）；
代入抛物线解析式，有：
x=（x-2）²-（x-2）-2，解得 x₁=、x₂=（舍，因为此时点P在y轴右侧）
∴Q₂（，0）；
综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（，0）、（，0）．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．
（2）直线DE与抛物线的交点有两个，通过观察图可看出，点M在y轴右侧时，一定不符合CM=AN的条件，所以只考虑点M在y轴右侧的情况：
①当点N在y轴上方时，MN∥AC，且AN=CM，显然四边形ACMN是等腰梯形，那么∠CAM=∠ACN，可过AM与y轴的交点作线段AC的垂线，在构建的两个小直角三角形中求出这个交点的坐标，进而能求出直线AM的解析式，联立抛物线解析式即可得到点M的坐标，而直线MN与直线AC平行，那么它们的斜率相同，可根据这个条件先设出直线MN的解析式，代入点M的坐标后，进一步能求出点D的坐标；
②当点N在y轴下方时，显然四边形ACMN是平行四边形，那么点A、M的横坐标互为相反数（由于CN在y轴上，而A、M关于CN的中点对称），可先将点M的横坐标代入抛物线解析式中确定点M的坐标，然后按①的思路求出点D的坐标．
（3）由于抛物线向x轴正方形平移，那么点P必在y轴右侧，若△CPQ是以CP为斜边的等腰直角三角形，那么点Q必须在x轴正半轴上，然后分两种情况讨论：
①点Q在点C、P之间时；②点Q在点P的右侧时；
解题思路相同，先设出点Q的坐标，过点P作x轴的垂线，通过构建的全等三角形（这里要用到等腰直角三角形的顶角为90°以及腰相等这两个条件），先表示出点P的坐标（用点Q的横坐标来表示），代入抛物线解析式后，即可确定点Q的坐标．
点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、特殊四边形的判定和性质、相似三角形与全等三角形的应用等重点知识；这道题的思路和解答过程相等复杂，需要辅以图形来解答题目，在作图时，可以将与所做小题无关的图形去掉，这样可以更直观的看出线段、图形间的位置、数量关系．另外，后两题涉及的情况较多，一定要注意分类讨论．