Question

1．如图，等边△ABC中，AB=4，O为三角形中心，⊙O的直径为1，现将⊙O沿某一方向平移，当它与等边△ABC的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d，则d的取值范围是$\frac{2}{3}\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{4}{3}\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 如图所示，当圆心运动到与点P重合时，d最大，运动到与点Q重合时，d最小，求出OP与OQ，即可确定出d的范围．

解答 解：如图1，PF⊥AB于F，OE⊥AB于E，
等边△ABC中，AB=4，则AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
则OA=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∵PF=$\frac{1}{2}$，
∴AP=1，
∴OP=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$-1，
如图2，AH=$\frac{1}{2}$AB=2，∠OAH=30°，
∴OH=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
QH=$\frac{1}{2}$，
∴OQ=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{3}\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{4}{3}\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了切线的性质，勾股定理，以及等边三角形的性质，找出d的最大值与最小值是解本题的关键．