Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点 E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD=BF；

（2）若CF=2，tanB=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

(1)连接OE，求出∠OEA为直角，再根据题意证明OE//BF，进而利用中位线定义证明即可；

(2) 设BC＝3x,根据题(1)，利用三角函数分别将AO、AB、OE用含x的代数式表示出来，再利用OE//BF，则∠AOE＝∠B，根据三角函数列出方程求解即可.

（1）证明：连接OE，

∵AC与圆O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，

∴OE=BF，

又∵OE=BD，

则BF=BD；

（2）解：设BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x

又∵CF=2，

∴BF=3x+2，

由（1）得：BD=BF，

∴BD=3x+1，

∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，

∵OE∥BF，

∴∠AOE=∠B，

∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，

解得：x=，

则圆O的半径为=5．