【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点 E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若CF=2,tanB=,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)5.
【解析】
(1)连接OE,求出∠OEA为直角,再根据题意证明OE//BF,进而利用中位线定义证明即可;
(2) 设BC=3x,根据题(1),利用三角函数分别将AO、AB、OE用含x的代数式表示出来,再利用OE//BF,则∠AOE=∠B,根据三角函数列出方程求解即可.
(1)证明:连接OE,
∵AC与圆O相切,
∴OE⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴OE∥BC,
又∵O为DB的中点,
∴E为DF的中点,即OE为△DBF的中位线,
∴OE=BF,
又∵OE=BD,
则BF=BD;
(2)解:设BC=3x,根据题意得:AC=4x,AB=5x
又∵CF=2,
∴BF=3x+2,
由(1)得:BD=BF,
∴BD=3x+1,
∴OE=OB=,AO=AB﹣OB=5x﹣
=
,
∵OE∥BF,
∴∠AOE=∠B,
∴cos∠AOE=cosB,即=
,即
=
,
解得:x=,
则圆O的半径为=5.
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【题目】如图,AD是△ABC的角平分线,线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F,连接DE、DF.
(1)试判定四边形AEDF的形状,并证明你的结论.
(2)若AE=5,AD=8,求EF的长.
(3)△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?
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【题目】如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴,y轴于A,B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)
(1)求抛物线的解析式:
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM周长最短?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在边长为3的等边中,点
从点
出发沿射线
方向运动,速度为1个单位/秒,同时点
从点
出发,以相同的速度沿射线
方向运动,过点
作
交射线
于点
,连接
交射线
于点
.
(1)如图1,当时,求运动了多长时间?
(2)如图1,当点在线段
(不考虑端点)上运动时,是否始终有
?请说明理由;
(3)如图2,过点作
,垂足为
,当点
在线段
(不考虑端点)上时,
的长始终等于
的一半;如图3,当点
运动到
的延长线上时,
的长是否发生变化?若改变,请说明理由;若不变,求出
的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,连接CE交AD于点H,则图中的等腰三角形有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
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【题目】如图1,在等腰中,
,点
为边
上一点(不与点
、点
重合),
,垂足为
,交
于点
.
(1)请猜想与
之间的数量关系,并证明;
(2)若点为边
延长线上一点,
,垂足为
,交
延长线于点
,请在图2中画出图形,并判断(1)中的结论是否成立.若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点B(0,﹣3),直线l:y=﹣x+4上点A的横坐标为2,把射线BA绕点B顺时针旋转45°,与直线l交于点C,则点C的坐标为_____.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒得速度从A点出发,沿AC向C移动,同时,动点Q以1米/秒得速度从C点出发,沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时,他们都停止移动,设移动的时间为t秒。
(1)求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数关系式;
(2)在P、Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值;
(3)以P为圆心,PA为半径的圆与以Q为圆心,QC为半径的圆相切时,求出t的值。
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上的一点(不与A、B重合).过点B作BE⊥CD,垂足为E.将线段CE绕点C顺时针旋转,得到线段CF,连结EF.设∠BCE度数为
.
(1)①补全图形;
②试用含的代数式表示∠CDA.
(2)若 ,求
的大小.
(3)直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系.
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