Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=$\frac{3}{4}$，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或$\frac{21}{4}$；④0＜BE≤$\frac{25}{5}$，其中正确的结论是②③（填入正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由CD=9，则BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答 解：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①错误；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BG}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\frac{4}{5}$，
∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠EDB}\\{AC=BD}\\{∠B=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正确；
③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=$\frac{3}{4}$，AB=15，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$
∴BD=12．
当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AC=15，
∴cosC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=$\frac{75}{4}$．
∵BC=24，
∴BD=24-$\frac{75}{4}$=$\frac{21}{4}$
即当△DCE为直角三角形时，BD=12或$\frac{21}{4}$．
故③正确；
④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
设CD=y，BE=x，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{DC}{BE}$，
∴$\frac{15}{24-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-24y+144=144-15x，
即（y-12）²=144-15x，
∴0＜x≤$\frac{48}{5}$，
∴0＜BE≤$\frac{48}{5}$．
故④错误．
故正确的结论为：②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决③的关键．