Question

如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，C是的中点，动点M在上运动（不与B、C重合），AM交OC于点P，OM与PB交于点N．
（1）求证：AP•AM是定值；
（2）请添加一个条件（要求添加的条件是图中两条线段或多条线段之间的数量关系），使OM⊥PB．并加以证明．

Answer 1

（1）证明：∵C是的中点，且AB是直径
∴
∴∠AOC=∠BOC=90°
∵AO=BO
∴CO是AB的垂直平分线
∴AP=BP
∴∠A=∠B
∵AO=MO
∴∠A=∠M
∴∠B=∠M，且∠A=∠A
∴△AOM∽△APB
∴
∴AM•AP=AB•AO
∵AO=R，AB=2R
∴AM•AP=2R²
在圆O中R是定值，∴2R²也是定值
∴AM•AP=2R²是定值；

（2）解：当时，OM⊥PB．
证明：∵
∴△AOM∽△OPM
∴∠2=∠A
∴∠2=∠B
∵∠2+∠1=∠BOC=90°
∴∠1+∠B=90°
∴∠3=90°
∴OM⊥PB．
分析：（1）要证明AP•AM是定值，就要证明它们的积与圆的半径的关系，在圆中往往不变的量是圆的半径，而要证明线段的积得问题在圆中一般都是证明三角形相似或使用圆幂定理，所以在本题中证明△AMO∽△ABP就可以了．
（2）是一个条件开放试题，要证明OM⊥PB，就与90°有联系，只要证明这两直线相交的四个角中有 一个角是直角就可以了，如图就只要证明∠1+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，只要证明∠2=∠B，要证明∠2=∠B，只要证明△AOM∽△OPM，结论可以得出，而证这两个三角形相似就联想到了需要加的条件是变得关系，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，就有，而问题解决．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角与弧的关系，垂径定理的运用，直角三角形的判定等多个知识点．