Question

12．如图，已知：CA⊥AB，DB⊥AB，AD与BC交于点E，∠CAD=∠DBC．求证：CA=DB．

Answer 1

分析 先根据垂直定义得到∠CAB=∠DBA=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAB=∠CBA，于是可根据“ASA”判断△CAB≌△DBA，然后根据全等三角形的性质得CA=DB．

解答 证明：如图，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAB=∠DBA=90°，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAB-∠CAD=∠DBA-∠DBC，即∠DAB=∠CBA，
在△CAB和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠DBA}\\{AB=BA}\\{∠CAB=∠DAB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△DBA，
∴CA=DB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；在应用全等三角形的性质时主要是得到对应角相等或对应线段相等．