Question

4．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF相交于点D，且BD=AC，点G在CF的延长线上，且CG=AB．
（1）证明：△ABD≌△GCA；
（2）判断△ADG是怎样的三角形；
（3）证明：GF=FD．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠ABD=∠GCA，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=AG，根据余角的性质得到∠BAD+∠GAF=90°，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABD=90°-∠BAC，∠GCA=90°-∠BAC，
∴∠ABD=∠GCA，
在△ABD和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{∠ABD=∠GCA}\\{CG=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GCA；

（2）∵△ABD≌△GCA，
∴AD=AG，
又∵∠BAD=∠G，∠G+∠GAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴∠DAG=90°，
∴△ADG是等腰直角三角形；

（3）∵AF⊥DG，AD=AG，
∴GF=FD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．