Question

19．如图，直线y=kx-2与双曲线y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）交于点A，与x轴交于点C，与y轴交于点D．AB⊥x轴于点B，AE⊥y轴于点E_{，△ABC的面积为2}．
（1）直接写出四边形OCAE的面积；
（2）求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得；
（2）设A（x，-$\frac{6}{x}$），根据△ABC的面积为2，求得BC=-$\frac{2}{3}$x，OC=-$\frac{1}{3}$x，根据△ABC∽△DOC求得$\frac{AB}{OD}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{2}{1}$，由直线的解析式求得D的坐标为（0，-2）得出OD=2，从而求得AB=4，代入反比例函数解析式求得A的坐标，求得OB的长，即可求得C的坐标．

解答 解：（1）∵双曲线为y=-$\frac{6}{x}$（x＜0），
∴四边形ABOE的面积为6，
∵△ABC的面积为2．
∴四边形OCAE的面积为4．
（2）∵A点是双曲线y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上的点，
设A（x，-$\frac{6}{x}$），
∴AB=-$\frac{6}{x}$，
∵△ABC的面积为2．
∴$\frac{1}{2}$AB•BC=2，即$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{x}$）•BC=2
∴BC=-$\frac{2}{3}$x，
∴OC=-$\frac{1}{3}$x，
∵AB⊥x轴于点B，
∴AB∥y轴，
∴△ABC∽△DOC，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{-\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{3}x}$=$\frac{2}{1}$，
由直线y=kx-2可知D（0，-2），
∴OD=2，
∴AB=4，
∴-$\frac{6}{x}$=4，解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴A（-$\frac{3}{2}$，4），
代入y=kx-2得，4=-$\frac{3}{2}$k-2，解得k=-4，
∴直线：y=-4x-2，
令y=0，则x=-$\frac{1}{2}$，
∴C（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，三角形相似的判定和性质，待定系数法求解析式，求得A的坐标是解题的关键．