Question

11．观察规律：（1-$\frac{1}{2^2}$）=$（1-\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$，$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）=（1-\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2}）（1-\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，…
若（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1008}{2015}$，n为正整数，则n的值为（　　）

• A． 1008
• B． 1009
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 根据题意直接将原式变形得出$\frac{1}{2}$×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{1008}{2015}$，进而求出答案．

解答 解：∵（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1008}{2015}$，
∴（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）…（1-$\frac{1}{n}$）（1+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1008}{2015}$，
$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$…$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{1008}{2015}$，
则$\frac{1}{2}$×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{1008}{2015}$，
则2016n=2015n+2015，
解得：n=2015．
故选：C．

点评 此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确将原式分解因式是解题关键．