Question

13．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$．
（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若n为小于20的整数，且k≠$\frac{{n}^{2}}{2}$，求OP²的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式得到s=$\frac{1}{2}$a•n．而s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$，把n=1代入就可以得到a的值．
（2）易证△OPA是等腰直角三角形，得到m=n=$\frac{a}{2}$，根据三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•an，就可以解得k的值．
（3）易证△OPQ∽△OAP，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，就可以得到关于k，n的方程，从而求出k，n的值，得到OP的值

解答 解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
（1）当n=1时，s=$\frac{5}{4}$，
∵s=$\frac{1}{2}$an，
∴a=$\frac{2s}{n}$=$\frac{5}{2}$，
∴点A坐标（$\frac{5}{2}$，0）．
（2）∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•a•n=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$，
即n⁴-4n²+4=0，∵k=n²，
∴k²-4k+4=0，
∴k=2．
（3）由s=1+$\frac{{n}^{4}}{4}$=$\frac{1}{2}$an，整理得a=$\frac{2}{n}$+$\frac{{n}^{3}}{2}$，
∵PA⊥OP，作PQ⊥OA于Q，∴△OPQ∽△OAP．
∴OP²=OQ•OA，∵OP²=m²+n²，又m=$\frac{k}{n}$，
∴$\frac{k}{n}$•a=$\frac{{k}^{2}}{{n}^{2}}$+n²，
化简得：2n⁴+2k²-kn⁴-4k=0   即（k-2）（2k-n⁴）=0，
∴k=2或k=$\frac{{n}^{4}}{2}$，
∵k≠$\frac{{n}^{4}}{2}$，
∴k=2，
∵OP²=m²+n²=$\frac{4}{{n}^{2}}$+n²，且n是大于0且小于20的整数，
当n=1时，OP²=5，
当n=2时，OP²=5，
当n=3时，OP²=3²+$\frac{4}{{3}^{2}}$＞3²，
当n是大于3且小于20的整数时，显然有OP²＞5，
∴OP²的最小值是5．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形等知识，解题的关键是用转化的思想，把问题转化为方程去思考，属于中考比较难的题目．