Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．

（1）求证：AE=CE；

（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（0＜x＜5）；（3）或15．

【解析】

试题分析：（1）由菱形的性质得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．

（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO=OC=，BO=OD=．由菱形面积得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性质得出，求出EF的长，即可得出答案；∴；

（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：

①当∠ECP=90°时，②当∠CEP=90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中，∵BA=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE．又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE．

（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：

垂足分别为点H、F．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∵AB=5，sin∠ABD=，∴AO=OC=，BO=OD=．

∵ACBD=BCAH，∴AH=4，BH=3．

∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴．

∵EF∥AH，∴，∴EF=，∴y=PCEF=，∴（0＜x＜5）．

（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：

①当∠ECP=90°时

∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，∵cos∠ABP=，∴，∴BP=．

②当∠CEP=90°时，∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB=45°，∴AO=OE=，∴ED=，BE=．

∵AD∥BP，∴，∴，∴BP=15．

综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为或15．