Question

12．二次函数y=-$\frac{1}{2}{x^2}$-3x+8的图象与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，此抛物线的顶点为点D，对称轴交x轴于点E，如图①．
（1）求AC的解析式和抛物线的顶点D的坐标．
（2）点F是抛物线上直线AC上方的一点，求：当△ACF的面积最大时，点F的坐标，并求出△ACF的最大面积．
（3）如图②，点H的坐标是（0，6）连接EH和BH，将△EBH沿直线EH翻折，点B的对应点为点G，作直线CG，在直线CG上是否存在一点M，使得△EHM是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式可以得到点A、C的坐标，利用待定系数法可以求得直线AC的解析式；把抛物线解析式转化为顶点式方程，由此直接得到答案．
（2）作FQ⊥x轴于Q，交AC于点P．由一次函数和二次函数图象上点的坐标特征可以设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+3m+8），则P（m，m+8）．结合三角形的面积公式列出
S_△ACF=-2（m+4）²+32，由二次函数最值的求法得到答案；
（3）如图3，连接BG交EH于点R，则BG⊥EH且BR=GR．作RK⊥x轴于点K，作GN⊥x轴于点N，由△BRE∽HOE得：$\frac{ER}{BR}$=$\frac{OE}{OH}$=$\frac{1}{2}$，则ER=$\sqrt{5}$．同理可得△RKE∽△HOE，易求EK=1，RK=2，OK=2．由△GNB∽△RKB可得：GN=2RK=4，NB=2KB=8，易求点G的坐标为（-6，4）．则可得CG直线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+8．故设M（n，$\frac{2}{3}$n+8）．所以MH²=$\frac{13}{9}$n²+$\frac{50}{3}$n+73，EH=3$\sqrt{5}$．此时可以对直角顶点进行分类讨论．

解答 解：（1）如图1，∵y=-$\frac{1}{2}{x^2}$-3x+8=-$\frac{1}{2}$（x+8）（x-2），
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，8）．
设直线AC的解析式为y=kx+8（k≠0），则
0=-8k+8，
解得k=1．
故直线AC的解析式为y=x+8．
又∵y=-$\frac{1}{2}{x^2}$-3x+8=y=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+$\frac{25}{2}$，
∴D（-3，$\frac{25}{2}$）；

（2）设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+3m+8）．
如图2，作FQ⊥x轴于Q，交AC于点P，则P（m，m+8）．
∴PF=（-$\frac{1}{2}$m²+3m+8）-（m+8）=-$\frac{1}{2}$m²-4m（-8＜m＜0），
∴S_△ACF=S_△AFP+S_△CFP=$\frac{1}{2}$FP•AQ+$\frac{1}{2}$PF•OQ=$\frac{1}{2}$PF（AQ+OQ）=$\frac{1}{2}$PF•OA=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-4m）×8=-2（m+4）²+32，
∴当m=4时△ACF的面积最大，最大值为32，此时F（-4，2）．

（3）存在，理由如下：
如图3，连接BG交EH于点R，则BG⊥EH且BR=GR．作RK⊥x轴于点K，作GN⊥x轴于点N，OE=3，OH=6，
∴EH=3$\sqrt{5}$．
∵EH•RB=BE•OH，
∴BR=2$\sqrt{5}$．
∵∠BER=∠HEO，∠BRE=∠HOE=90°，
∴△BRE∽HOE，
∴$\frac{ER}{BR}$=$\frac{OE}{OH}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{ER}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，则ER=$\sqrt{5}$．
同理可得△RKE∽△HOE，
可得：EK=1，RK=2，OK=2．
由△GNB∽△RKB可得：GN=2RK=4，NB=2KB=8．
∴ON=6，
∴G（-6，4）．
则可得CG直线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+8．
故设M（n，$\frac{2}{3}$n+8）．
∴MH²=$\frac{13}{9}$n²+$\frac{50}{3}$n+73，EH=3$\sqrt{5}$．
此时可以对直角顶点进行分类讨论：
①当∠EMH=90°，存在点M的坐标为：M₁（-3，6），M₂（-$\frac{48}{13}$，$\frac{72}{13}$）；
②当∠MHE=90°时，则M₃（-$\frac{12}{7}$，$\frac{48}{7}$）；
③当∠MEH=90°时，则M₄（-$\frac{57}{7}$，$\frac{18}{7}$）．
综上所述，符合条件的点M的坐标为：M₁（-3，6），M₂（-$\frac{48}{13}$，$\frac{72}{13}$），M₃（-$\frac{12}{7}$，$\frac{48}{7}$），M₄（-$\frac{57}{7}$，$\frac{18}{7}$）．

点评 本题综合考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点公式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理以及三角形的面积求法等知识点．在求有关动点问题时要注意分析题意，分情况讨论结果．