Question

14．如图：∠ADC+∠AEB=180°，AB=k•AC，判断BE与CD的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 设BE与CD相交于F，连接AF，DE，由∠ADC+∠AEB=180°，得到A，E，F，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠1=∠2，∠C=∠C，推出△ACF∽△DCE，得到$\frac{AC}{CD}=\frac{AF}{DE}$，根据圆周角定理得到∠3=∠4，∠B=∠B，推出△ABF∽△EBD，得到$\frac{AB}{BE}=\frac{AF}{DE}$，等量代换得到$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AC}{CD}$，根据已知条件即可得到结论．

解答 解：BE=k•CD．
理由：设BE与CD相交于F，连接AF，DE，
∵∠ADC+∠AEB=180°，
∴A，E，F，D四点共圆，
∵∠1=∠2，∠C=∠C，
∴△ACF∽△DCE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AF}{DE}$，
∵∠3=∠4，∠B=∠B，
∴△ABF∽△EBD，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AF}{DE}$，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AC}{CD}$，
∵AB=k•AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$=k，
∴BE=k•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．