Question

33、如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．
（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；
（2）求AD的长；
（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，点C与AB的延长线上的点D重合，根据旋转的性质得BD=BC，∠DBC等于旋转角，且∠DBC=180°-60°=120°，即可判断所三角尺旋转的度数，△BCD的形状；
（2）由三角尺ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，得到AB=2BC=2×6=12，而BD=BC，即可得到AD=AB+BD的长；
（3）连接CE，△BCD为等腰三角形，由∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到BE垂直平分底边CD，则CE=DE，即可得到AC=CE．

解答：解：（1）∵直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，点C与AB的延长线上的点D重合，
∴BD=BC，∠DBC等于旋转角，且∠DBC=180°-60°=120°，
∴三角尺旋转了120度，△BCD为等腰三角形；
（2）∵三角尺ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2×6=12，
∵BD=BC，A、B、D三点在一直线上，
∴AD=AB+BD=12+6=18；
（3）如图，连接CE，则AC=CE．

证明如下：
∵BC=BD，
即△BCD为等腰三角形，
又∵∠EBD=∠ABC=60°，
而点A、B、D在一条直线上，
∴∠CBE=180°-（∠ABC+∠EBD）=60°=∠DBE，
即BE平分等腰△BCD的顶角，
∴BE垂直平分底边CD，
∴CE=DE，
而DE=AC
所以AC=CE．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．