【题目】如图,在△ABC中,已知CA=CB=5,BA=6,点E是线段AB上的动点(不与端点重合),点F是线段AC上的动点,连接CE、EF,若在点E、点F的运动过程中,始终保证∠CEF=∠B.
(1)求证:∠AEF=∠BCE;
(2)当以点C为圆心,以CF为半径的圆与AB相切时,求BE的长;
(3)探究:在点E、F的运动过程中,△CEF可能为等腰三角形吗?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA,
∵∠CEF=∠B,
∴∠AEF=∠BCE
(2)解:如图1,
设⊙C与BA切于点M,则CM=CF,CM⊥BA,
∵CA=CB,CM⊥BA∴BM=AM= =3,
Rt△AMC中,AC=5,AM=3,
∴CF=CM=4,
∴AF=1,
∵CA=CB∴∠B=∠C
由(1)知∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE,
∴ ,
设BE长为x,则EA长为6﹣x
∴ ,
解得:x1=1,x2=5,
答:BE的长为1或5
(3)可能.如图2,
①当CE=CF时,∠3=∠2=∠A,
∴EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.
②当CF=EF时,
又∵△AEF∽△BCE,
∴△AEF≌△BCE,
∴AE=BC=5,
∴BE=AB﹣5=1,
③当CF=EF时,∠1=∠2=∠A=∠B,
△FCE∽△CBA,
∴ ,
∴ = = ,
∵△AEF∽△BCE
∴ = =
∴EA= BC= ×5= ,
∴EB=AB﹣ = .
答:当BE的长为1或 时,△CFE为等腰三角形.
【解析】(1)根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)设⊙C与BA切于点M,则CM=CF,CM⊥BA,根据垂径定理得到BM=AM= =3,根据勾股定理得到CF=CM=4,根据相似三角形的性质得到 ,设BE长为x,则EA长为6﹣x即可得到结论;(3)①当CE=CF时推出EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.②当CF=EF时,根据全等三角形的性质得到BE=AB﹣5=1,③当CF=EF时,根据相似三角形的性质即可得到结论.
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【题目】如图,已知,抛物线l1:y=ax2﹣4ax+5+4a(a<0)的顶点为A,直线l2:y=kx+3过点A,直线l2与抛物线l1及y轴分别交于B,C.
(1)求k的值;
(2)若B为AC的中点,求a的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出不等式ax2﹣4ax+5+4a<kx+3的解集.
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【题目】植树节期间,某单位欲购进A、B两种树苗,若购进A种树苗3棵,B种树苗5颗,需2100元,若购进A种树苗4颗,B种树苗10颗,需3800元.
(1)求购进A、B两种树苗的单价;
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵,求A种树苗至少需购进多少棵?
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【题目】如图,直线y= 与y轴交于点A,与直线y=﹣ 交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=﹣ 上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是( )
A.﹣2
B.﹣2≤h≤1
C.﹣1
D.﹣1
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【题目】如图,二次函数y= x2+bx﹣ 的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线l:y=﹣x,双曲线y= ,在l上取一点A(a,﹣a)(a>0),过A作x轴的垂线交双曲线于点B,过B作y轴的垂线交l于点C,过C作x轴的垂线交双曲线于点D,过D作y轴的垂线交l于点E,此时E与A重合,并得到一个正方形ABCD,若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1:2的两条线段,则a的值为 .
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【题目】随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
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【题目】如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,∠EBC= ∠BAC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交EB于点F.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)若AB=8,sin∠EBC= ,求AC的长.
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