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【题目】如图,在△ABC中,已知CA=CB=5,BA=6,点E是线段AB上的动点(不与端点重合),点F是线段AC上的动点,连接CE、EF,若在点E、点F的运动过程中,始终保证∠CEF=∠B.
(1)求证:∠AEF=∠BCE;
(2)当以点C为圆心,以CF为半径的圆与AB相切时,求BE的长;
(3)探究:在点E、F的运动过程中,△CEF可能为等腰三角形吗?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)证明:∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA,

∵∠CEF=∠B,

∴∠AEF=∠BCE


(2)解:如图1,

设⊙C与BA切于点M,则CM=CF,CM⊥BA,

∵CA=CB,CM⊥BA∴BM=AM= =3,

Rt△AMC中,AC=5,AM=3,

∴CF=CM=4,

∴AF=1,

∵CA=CB∴∠B=∠C

由(1)知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE,

设BE长为x,则EA长为6﹣x

解得:x1=1,x2=5,

答:BE的长为1或5


(3)可能.如图2,

①当CE=CF时,∠3=∠2=∠A,

∴EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.

②当CF=EF时,

又∵△AEF∽△BCE,

∴△AEF≌△BCE,

∴AE=BC=5,

∴BE=AB﹣5=1,

③当CF=EF时,∠1=∠2=∠A=∠B,

△FCE∽△CBA,

= =

∵△AEF∽△BCE

= =

∴EA= BC= ×5=

∴EB=AB﹣ =

答:当BE的长为1或 时,△CFE为等腰三角形.


【解析】(1)根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)设⊙C与BA切于点M,则CM=CF,CM⊥BA,根据垂径定理得到BM=AM= =3,根据勾股定理得到CF=CM=4,根据相似三角形的性质得到 ,设BE长为x,则EA长为6﹣x即可得到结论;(3)①当CE=CF时推出EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.②当CF=EF时,根据全等三角形的性质得到BE=AB﹣5=1,③当CF=EF时,根据相似三角形的性质即可得到结论.

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