Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0，它的两个根为矩形的两邻边长．求：
（1）当k为何值，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长是5时，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,矩形的性质

专题：

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）根据勾股定理得出两根的平方和=5²，利用根与系数的关系解决问题即可．

解答：解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）
=k²+2k+1-k²-4=2k-3，
又∵原方程有两个实数根，
∴2k-3≥0，
解得k≥

3

2

，
即实数k的取值范围是k≥

3

2

；
（2）设矩形的两邻边长a、b，
则a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
由勾股定理得a²+b²=5²，
即（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=25，
解得k=2

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-2，k=-2

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-2（不合题意舍去）．

点评：此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．和考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了等腰三角形的性质．