Question

已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD=BM；N为BC中点，延长NA到E，使AE=NA，连接ED，求证：ED⊥BD．

Answer 1

分析：延长BA到F，使AF=AB，连接DF，EF，AD，可以得出△ADM≌△CBM，就可以得出AD=BC，∠DAC=∠C=90°，就有∠FAD+∠CAB=90°，由中位线的性质可以得出∠DFA=∠CAB，就可以得出∠DFA+∠DAF=90°，
就有∠FDA=90°，在通过证明△AFE≌△ABN就可以得出EF=BN，∠EFA=∠NBA，就有EF=AM，∠DFA+∠EFA=90°，就可以得出△DFE≌△DAM，由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：证明：延长BA到F，使AF=AB，连接DF，EF，AD，
∵M为AC中点，N为BC中点，
∴AM=CM=

1

2

AC，BN=CN=

1

2

BC．
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，AM=BN．
在△ADM和△CBM中

DM=BM ∠DMA=∠BMC AM=CM

，
∴△ADM≌△CBM（SAS），
∴AD=BC=2BN=2AM．，∠DAC=∠C=90°，
∴∠FAD+∠CAB=90°．DA∥BC．
∴∠DAF=∠ABC．
∵MD=BM，AF=AB，
∴AM是△FDM的中位线，
∴FD=2AM，FD∥AM，
∴FD=AD，∠DFA=∠CAB，
∴∠DFA+∠DAF=90°．
∴∠FDA=90°．
在△AFE和△ABN中

AF=AB ∠FAE=∠NAB AE=AN

，
∴△AFE≌△ABN（SAS），
∴EF=NB，∠EFA=∠NBA=∠DAF，
∴EF=AM，∠EFA=∠CAB
∠DFA+∠EFA=90°，
即∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠DAM．
在△DFE和△DAM中

DF=DA ∠DFE=∠DAM FE=AM

，
∴△DFE≌△DAM（SAS），
∴∠FDE=∠ADM，
∵∠FDE+∠ADE=∠ADF=90°，
∴∠ADM+∠ADE=90°，
即∠EDM=90°．
∴ED⊥BD．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，解答时正确作辅助线是难点，证明三角形全等是关键．