Question

反比例函数y=

k

x

在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=

k

x

的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=

k

x

的图象上，求t的值．

Answer 1

考点：待定系数法求反比例函数解析式,解一元二次方程-因式分解法,反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,正方形的性质

专题：数形结合

分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到

1

2

|k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=

6

x

；
（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=

6

x

的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=

6

x

的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，
则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．

解答：解：（1）∵△AOM的面积为3，
∴

1

2

|k|=3，
而k＞0，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

；

（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=

6

x

的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，
把x=1代入y=

6

x

得y=6，
∴M点坐标为（1，6），
∴AB=AM=6，
∴t=1+6=7；
当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=

6

x

的图象上，
则AB=BC=t-1，
∴C点坐标为（t，t-1），
∴t（t-1）=6，
整理为t²-t-6=0，解得t₁=3，t₂=-2（舍去），
∴t=3，
∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=

k

x

的图象上时，t的值为7或3．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．