Question

如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,待定系数法求二次函数解析式

专题：数形结合

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）²+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x-1）²+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4；

（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，-3），
由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=4 b=-3

，
解得

k=7 b=-3

，
∴直线AB′的解析式为y=7x-3，
令y=0，则7x-3=0，
解得x=

3

7

，
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（

3

7

，0）．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．