Question

7．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-6，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．
（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=2：5时，求m的值；
（2）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；
（2）分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得m的值，再根据相似三角形可得到关于n的方程，可求得n的值．

解答 解：
（1）∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴$\frac{P′P}{AC}$=$\frac{P′D}{DC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{2m}{m+6}$=$\frac{2}{5}$，
解得m=$\frac{3}{2}$；
（2）当点P在第一象限且△P′CA为等腰直角三角形时，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论．
第一种情况：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=$\frac{1}{2}$AC．
∴2m=$\frac{1}{2}$（m+6），
∴m=2，P′H=4，
∵△AOB∽△ACP，
∴$\frac{6}{n}$=$\frac{8}{4}$，
∴n=3；
第二种情况：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，则PP′=AC，
∴2m=m+6，
∴m=6，
∵△P′AC为等腰直角三角形，
∴四边形P′ACP为正方形，
∴PC=AC=12，
∵△AOB∽△ACP，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{OB}{PC}$，即$\frac{6}{12}$=$\frac{n}{12}$，
∴n=6；
第三种情况：
若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴所有满足条件的m=2，n=3或m=6，n=6．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点的综合应用，在（1）中由条件证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得到关于m的方程是解题的关键；在（2）中分三种情况分别讨论是解题的关键；属于基础知识的综合考查，难度不大，注意对基础知识的熟练应用．