Question

15．如图，平面直角坐标系中，直线l₁：y=x+$\sqrt{3}$交x轴于B，交y轴于A，直线l₂过点A交x轴正半轴于点C，并且OC：OB=1：$\sqrt{3}$，射线CE、CF分别为∠ACB及其外角的平分线．点M、N同时从A点出发，沿射线AB、AC方向运动．点M的运动速度为每秒$\sqrt{6}$个单位长度，点N的运动速度为每秒2个单位长度．直线MN与射线CE、CF交于点E、F，设运动时间为t秒．
（1）求直线l₂的解析式；并判断NE、NF的数量关系；
（2）连结AE、AF，当t为何值时，四边形AECF为矩形，证明你的结论；并求此时过A、E、F三点的抛物线的解析式．
（3）设MN与射线CE、CF的反向延长线的交点为E′、F′，求点E′或点F′在（2）中所求的抛物线上时，t的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知函数l₁的解析式求出点A．B的坐标，再根据OC，OB的关系，从而求出OC，得到点C的坐标，进一步求出l₂的解析式，CE．CF分别是∠ACB及其外角的平分线，得到∠3=∠4，∠1=∠2，再有对应线段成比例，得直线MN∥BC，得到角相等，从而得到线段相等；
（2）四边形AECF是矩形，则对角线相等且平分．于是得到AN的长度，从而得到t的值． 过点E．F分别作EH⊥x轴于H FG⊥x轴于G，根据锐角三角函数，求得点E和F的坐标，进一步求出二次函数的解析式；
（3）因为点E′是抛物线和直线CE的交点，解方程组得到E′的坐标，进一步求得AC与直线E′F′的交点M′的坐标，得到AM′的长度，从而求出t的值．

解答 解：（1）如图：在y=x+$\sqrt{3}$中，令x=0时，y=$\sqrt{3}$，令y=0时x=-$\sqrt{3}$，
∴A（0，$\sqrt{3}$）  B（-$\sqrt{3}$，0），
∴OB=$\sqrt{3}$，
∵OC：OB=1：$\sqrt{3}$，
∴OC=1，
∴C（1，0），
设l₂的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{k=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴l₂的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
EN与FN的关系：EN=FN，
理由如下：∵CE．CF分别是∠ACB及其外角的平分线，
∴∠3=∠4，∠1=∠2，
由已知得：AM=$\sqrt{6}$t，AN=2t，AB=$\sqrt{6}$，AC=2，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$=t，
∴MN∥BC，
∴∠1=∠NFC，
∴∠2=∠NFC，
∴FN=NC同理：EN=NC，
∴EN=FN；

（2）如图2，当四边形AECF是矩形，则EF=AC，由（1）知EN=FN∴必有AN=CN=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴t=$\frac{1}{2}$∴当t=$\frac{1}{2}$时，四边形AECF为矩形，
过点E．F分别作EH⊥x轴于H  FG⊥x轴于G，
在R_t△AOC中，tan∠ACB=$\frac{AO}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°，
∴∠3=∠4=30°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cos30°=$\sqrt{3}$，CF=1，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{3}{2}$，
同理：CG=$\frac{1}{2}$，
∴E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设过A．E．F三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{4}a+\frac{1}{2}b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为：y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x$+\sqrt{3}$；

（3）如图3 设直线CE的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}k+b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$ 解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$∴$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵点E′在抛物线和直线CE上，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-{\frac{2\sqrt{3}{x}^{2}}{3}}^{\;}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
∴CM′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴AM′=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴t=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴当t=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，点E′在（2）中所求的抛物线上．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的综合应用、矩形的性质等知识，此题的（3）中求出AM'的长度是解题的关键．