Question

1．AD是⊙O的直径，且AD=6． A、B、C、D、E、F为⊙O的六等分点，P为劣弧$\widehat{AF}$上一动点，连接PA、PB、PD、PE．

（1）当点P运动到点F时，求出PA+PB的值；
（2）当点P运动到$\widehat{AF}$之间时（不与点A与点F重合），求出$\frac{PA+PE}{PB+PD}$值．
（3）令t=PA+PB+PD+PE，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OF、OB，设OA交BF于H．只要证明△AOF是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，连接AC、AE、EC、BC、CD、PC，在PC上截取PH=PA，连接AH，作CN⊥PD于N，CM⊥PB于M．只要证明PA+PE=PC，PB+PD=$\sqrt{3}$PC，即可解决问题；
（3）利用（2）中结论，求出PC的最大值以及最小值即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OF、OB，设OA交BF于H．

由题意∠AOB=∠AOF=60°，$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴OA⊥BF，BH=FH，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴PA=OA=6，FH=OF•sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴PB=2HF=6$\sqrt{3}$，
∴PA+PB=6+3$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，连接AC、AE、EC、BC、CD、PC，在PC上截取PH=PA，连接AH，作CN⊥PD于N，CM⊥PB于M．

易知△ACE是等边三角形，
∴∠APC=∠AEC=60°，
∵PA=PH，
∴△APH是等边三角形，
∴PA=AH=PH，AC=AE，∠CAE=∠HAP，
∴∠CAH=∠EAP，
∴△ACH≌△AEP，
∴PE=CH，
∴PA+PE=PH+CH=PC，
∵∠CPB=∠CPD=30°，CN⊥PD于N，CM⊥PB于M，
∴CN=CM，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴CB=CD，
∴Rt△PCM≌Rt△PCN，Rt△CMB≌Rt△CND，
∴PM=PN，BM=DN，
∴PB+PD=（PM-BM）+（PN+DN）=2PN=2PC•cos30°=$\sqrt{3}$PC，
∴$\frac{PA+PE}{PB+PD}$=$\frac{PC}{\sqrt{3}PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）由（2）可知PA+PE=PC，PB+PD=$\sqrt{3}$PC，
∴t=PA+PB+PD+PE=（1+$\sqrt{3}$）PC，
∵6$\sqrt{3}$≤PC≤12，
∴6$\sqrt{3}$+18≤t≤12+12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、等边三角形的判定和性质．角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．