Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围．
（2）若方程的两个实数根为x₁．x₂，且（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据一元二次方程的一般形式求得b²-4ac的值，再进一步根据关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个实数根，即△≥0进行求解．
（2）方程变形为（x-1）²=1-m，根据题意则（x₁-1）²=1-m，（x₂-1）²=1-m，代入（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5解得即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个实数根，
∴b²-4ac=4-4m≥0，
即m≤1．
（2）∵x²-2x+m=0，
∴（x-1）²=1-m，
∵方程的两个实数根为x₁．x₂，
∴（x₁-1）²=1-m，（x₂-1）²=1-m，
∵（x₁-1）²+（x₂-1）²+m²=5
∴（1-m）²+（1-m）²+m²=5，
解得m=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．