Question

【题目】如图，△ABC和△DEB都是等边三角形，点A、D、B在同一直线上，如图1．

（1）求证：DC=AE；

（2）若BM⊥CD，BN⊥AE，垂足分别为M、N，如图2，求证：△BMN是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质证明△CBD≌△ABE即可解决问题；

（2）根据△CBD≌△ABE可得∠BCM=∠BAN，进而证明△CMB≌△ANB，然后根据全等三角形的性质及等边三角形的判定定理得出结论．

证明：（1）∵△ABC和△DEB都是等边三角形，

∴CB=AB，∠CBA=∠DBE=60°，DB=BE，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴DC=AE；

（2）∵BM⊥CD，BN⊥AE，

∴∠CMB=∠ANB=90°，

∵△CBD≌△ABE，

∴∠BCM=∠BAN，

∵CB=AB，

∴△CMB≌△ANB（AAS），

∴BM=BN，∠CBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠ABM=∠CBM+∠ABM=∠CBA=60°，即∠MBN=60°，

∴△BMN是等边三角形．