Question

如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．

Answer 1

分析：（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．

解答：证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）

（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE=

1

2

AB，
∴EF=

1

2

AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF=

1

2

AF，
∴GF=EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．（1分）

点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．