Question

10．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．
（1）请你通过计算，填写表格．
（2）从表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理，它们的关系是∠BIC=∠BDI．

∠BAC的度数	60°	100°
∠BIC的度数	120°	140°
∠BDI的度数	120°	140°

Answer 1

分析 根据角平分线定义得到∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再利用三角形内角和定理得∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
所以∠BIC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，接着根据三角形外角性质得∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，于是有∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；然后把∠BAC=60°和100°分别代入计算即可．

解答 解：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BIC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AI⊥DE，
∴∠AID=90°，
而AI平分∠DAE，
∴∠DAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
当∠BAC=60°时，∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°；
当∠BAC=100°时，∠BIC=∠BDI=90°+$\frac{1}{2}$×100°=140°．
（1）答案为120°，140°，120°，140°；
（2）∠BIC=∠BDI．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图性是解题的关键．