Question

2．如图，在圆形纸片和三角形纸片中都刚好能裁剪出棱长为acm的正方体纸盒的表面，那么两种纸片的利用率（纸片利用率=$\frac{纸片被利用的面积}{纸片的总面积}$×100%）的大小关系为（　　） 

• A． 圆形纸片利用率大
• B． 三角形纸片利用率大
• C． 两种纸片的利用率一样
• D． 利用率与a的值有关，无法判断

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC、AB，根据每个小正方形的边长为a，可以证得∠ACB=90°，故问题可求．
（2）如图2，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求．

解答 解：（1）如图1连接AC，BC，AB，
∴AC=BC=$\sqrt{{a}^{2}{+（3a）}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，AB=$\sqrt{{（4a）}^{2}{+（2a）}^{2}}$=$\sqrt{20}$a，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴37.5%＜38.2%，
故方案一中纸片的利用率高．∴圆形纸片的利用率=$\frac{{6a}^{2}}{{（\sqrt{5}a）}^{2}π}$×100%=$\frac{6}{5π}$×100%=38.2%
由题意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{a}{4a}$=$\frac{2a}{BC}$，
∴BC=8a，
∴S_△ABC=16a²，
∴三角形字片的面积=$\frac{{6a}^{2}}{{16a}^{2}}$×100%=37.5%，
∵38.2%＞37.5%，
∴圆形纸片的利用率大．
故选A．

点评 本题主要考查了圆的面积、三角形的面积的求法，正方体的表面积，三角形全等以及三角形相似等知识点．本题的解答关键是灵活运用所学相关的知识点来解决问题．