Question

【题目】如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.

（1）求∠APC和∠BPC的度数

（2）探究PA、PB、PM之间的关系

（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=60°；∠BPC=60°；（2）PM= PA＋PB；（3）

【解析】

（1）根据等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等即可得出结论；

（2）根据平行线的性质可得∠MCP=∠BPC=60°，然后根据等边三角形的判定可得△CPM为等边三角形，再利用SAS证出△BCP≌△ACM，即可得出PB=AM，从而得出结论；

（3）过点C作CD⊥MP于D，根据（2）的结论和等边三角形的性质求出AM和CD，利用三角形的面积公式即可求出S△CAM和S△CAP，然后根据全等三角形的性质可得S△BCP= S△ACM，最后根据S四边形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP即可得出结论．

解：（1）∵△ABC为等边三角形

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）PM= PA＋PB，理由如下

∵CM∥BP

∴∠MCP=∠BPC=60°

∴∠M=180°－∠MPC－∠MCP=60°

∴△CPM为等边三角形

∴CP=CM，∠PCM=60°

∵∠ACB=60°

∴∠ACB=∠PCM

∴∠BCP=∠ACM

在△BCP和△ACM中

∴△BCP≌△ACM

∴PB=AM

∴PM=PA＋AM=PA＋PB

（3）过点C作CD⊥MP于D

∵PA=1，PB=2，

∴PM=PA＋PB=3，AM=PB=2

∵△CPM为等边三角形

∴CM=CP=PM=3，

∵CD⊥MP

∴MD==

根据勾股定理可得CD=

∴S△CAM=

S△CAP=

∵△BCP≌△ACM

∴S△BCP= S△ACM

∴S四边形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP