【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD,OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.
(3)如图2,点E的坐标为(0,),在抛物线上是否存在点P,使∠OBP=2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)点D(1,4)或(2,3);(3)当点P在x轴上方时,点P(,
);当点P在x轴下方时,点(﹣
,﹣
)
【解析】
(1)c=3,点B(3,0),将点B的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+2x+3,解得a=﹣1即可得出答案;
(2)由S△COF:S△CDF=3:2得OF:FD=3:2,由DH∥CO得CO:DM=3:2,求得DM=2,而DM==2,即可求解;
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况,分别求解即可.
(1) ∵OB=OC=3,
∴点C的坐标为C(0,3),c=3,点B的坐标为B(3,0),
将点B的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+2x+3,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,过点D作DH⊥x轴于点H,交BC于点M,
∵S△COF:S△CDF=3:2,
∴OF:FD=3:2,
∵DH∥CO,
∴CO:DM= OF:FD=3:2,
∴DM=CO=2,
设直线BC的表达式为:,
将C(0,3),B(3,0)代入得,
解得:,
∴直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
设点D的坐标为(x,﹣x2+2x+3),则点M(x,﹣x+3),
∴DM==2,
解得:x=1或2,
故点D的坐标为:(1,4)或(2,3);
(3)①当点P在x轴上方时,
取OG=OE,连接BG,过点B作直线PB交抛物线于点P,交y轴于点M,使∠GBM=∠GBO,
则∠OBP=2∠OBE,过点G作GH⊥BM,如图,
∵点E的坐标为(0,),
∴OE=,
∵∠GBM=∠GBO,GH⊥BM,GO⊥OB,
∴GH= GO=OE=,BH=BO=3,
设MH=x,则MG=,
在△OBM中,OB2+OM2=MB2,即,
解得:x=2,
故MG==
,则OM=MG+ GO=
+
,
点M的坐标为(0,4),
设直线BM的表达式为:,
将点B(3,0)、M(0,4)代入得:,
解得:,
∴直线BM的表达式为:y=x+4,
解方程组
解得:x=3(舍去)或,
将x=代入 y=
x+4得y=
,
故点P的坐标为(,
);
②当点P在x轴下方时,如图,过点E作EN⊥BP,直线PB交y轴于点M,
∵∠OBP=2∠OBE,
∴BE是∠OBP的平分线,
∴EN= OE=,BN=OB=3,
设MN=x,则ME=,
在△OBM中,OB2+OM2=MB2,即
,
解得:,
∴,则OM=ME+ EO=
+
,
点M的坐标为(0,-4),
设直线BM的表达式为:,
将点B(3,0)、M(0,-4)代入得:,
解得:,
∴直线BM的表达式为:,
解方程组
解得:x=3(舍去)或,
将x=代入
得
,
故点P的坐标为(,
);
综上,点P的坐标为:(,
)或(
,
) .
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【题目】如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是 .
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【题目】已知:点M、N分别是x轴y轴上的动点,点P、Q是某个函数图象上的点,当四边形MNPQ为正方形时,称这个正方形为此函数的“梦幻正方形”例如:如图1所示,正方形MNPQ是一次函数y=﹣x+2的其中一个“梦幻正方形”.
(1)若某函数是y=x+5,求它的图象的所有“梦幻正方形”的边长;
(2)若某函数是反比例函数y=(k<0)(如图2所示),它的图象的“梦幻正方形”ABCD,D(﹣4,m)(m<4)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.
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【题目】如图①,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图②);
(3)在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图①,若点D是抛物线上一动点,设点D的横坐标为m(0<m<3),连接CD,BD,BC,AC,当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时,求m的值;
(3)若点N为抛物线对称轴上一点,请在图②中探究抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任意一点(不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.
(1)求∠APC和∠BPC的度数
(2)探究PA、PB、PM之间的关系
(3)若PA=1,PB=2,求四边形PBCM的面积.
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