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【题目】RtABC中,∠ABC=90°,∠BAC30°,将ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到AED,点BC的对应点分别是ED.

(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数;

(2)如图2,若=60°时,点F是边AC中点,求证:四边形BFDE是平行四边形.

【答案】115°;(2)证明见解析.

【解析】

1)如图1,利用旋转的性质得CADA,∠CAD=∠BAC30°,∠DEA=∠ABC90°,再根据等腰三角形的性质求出∠ADC,从而计算出∠CDE的度数;

2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得到BFAC,利用含30度的直角三角形三边的关系得到BCAC,则BFBC,再根据旋转的性质得到∠BAE=∠CAD60°ABAEACAD DEBC,从而得到DEBFACDBAE为等边三角形,接着由AFD≌△CBA得到DFBA,然后根据平行四边形的判定方法得到结论.

解:(1)如图1,∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到AED,点E恰好在AC上,

CACD,∠CAD=∠BAC30°,∠DEA=∠ABC90°

CADA

∴∠ACD=∠ADC180°30°)=75°,∠ADE=90°-30°=60°

∴∠CDE75°60°15°

2)证明:如图2

∵点F是边AC中点,

BFAC

∵∠BAC30°

BCAC

BFBC

∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到AED

∴∠BAE=∠CAD60°ABAEACADDEBC

DEBFACDBAE为等边三角形,

BEAB

∵点FACD的边AC的中点,

DFAC

易证得AFD≌△CBA

DFBA

DFBE

BFDE

∴四边形BEDF是平行四边形.

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