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【题目】如图,在平面直角坐标系中,把矩形沿对角线所在的直线折叠,点落在点处,轴相交于点.矩形的边的长是关于的一元二次方程的两个根,且

(1)求线段的长;

(2)求证:,并求出线段的长;

(3)直接写出点的坐标;

(4)若是直线上一个动点,在坐标平面内是否存在点,使以点为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】

【解析】

试题分析:(1)解方程即可得到结论;

(2)由四边形ABCO是矩形,得到AB=OC,ABC=AOC=90°,根据折叠的性质得到AD=AB,ADE=ABC=90°,根据全等三角形的判定得到ADE≌△COE;根据勾股定理得到OE=3;

(3)过D作DMx轴于M,则OEDM,根据相似三角形的性质得到CM=,DM=,于是得到结论.

(4)过P1作P1HAO于H,根据菱形的性质得到P1E=CE=5,P1EAC,设P1H=k,HE=2k,根据勾股定理得到P1E= k=5,于是得到P1(﹣,2+3),同理P3,3﹣2),当A与F重合时,得到P2(4,5);当CE是菱形EP4CF4的对角线时,四边形EP4CF4是菱形,得到EP4=5,EP4AC,如图2,过P4作P4Gx轴于G,过P4作P4NOE于N,根据勾股定理即可得到结论.

试题解析:(1)解方程x2﹣12x+32=0得,x1=8,x2=4,OAOC,OA=8,OC=4;

(2)四边形ABCO是矩形,AB=OC,ABC=AOC=90°,

把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠,点B落在点D处,AD=AB,ADE=ABC=90°,

AD=OC,ADE=COE,在ADE与COE中, ∴△ADE≌△COE;

CE2=OE2+OC2,即(8﹣OE)2=OE2+42OE=3;

(3)过D作DMx轴于M,则OEDM,

∴△OCE∽△MCD, CM=,DM=OM=

D(﹣);

(4)存在;OE=3,OC=4,CE=5,过P1作P1HAO于H,四边形P1ECF1是菱形,P1E=CE=5,P1EAC,

∴∠P1EH=OAC, = 设P1H=k,HE=2k,P1E=k=5,P1H=,HE=2

OH=2+3,P1(﹣,2+3),同理P3,3﹣2),

当A与F重合时,四边形F2ECP2是菱形,EF2CP2,EF2,=CP2=5,P2(4,5);

当CE是菱形EP4CF4的对角线时,四边形EP4CF4是菱形,EP4=5,EP4AC,

如图2,过P4作P4Gx轴于G,过P4作P4NOE于N,则P4N=OG,P4G=ON,EP4AC,=

设P4N=x,EN=2x,P4E=CP4=x,P4G=ON=3﹣2x,CG=4﹣x,(3﹣2x)2+(4﹣x)2=(x)2

x= 3﹣2x= P4),

综上所述:存在以点E,C,P,F为顶点的四边形是菱形,P(﹣,2+3),(,3﹣2),(4,5),().

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