Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D为AB上一点，DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点，设CP的长为a.

（1）求CE的长；

（2）a为何值时，△DEP与△BCP相似？

（3）当PD+PB有最小值时，求a的值及最小值.

Answer 1

【答案】（1）CE=12；（2）a的值为或6+4或6-；（3）13.

【解析】

（1）证明三角形ADE与三角形ABC相似，根据对应边成比例，且AE=16-CE，可解得CE的值.

（2）此时分为两种情况进行谈论，分别是△DEP∽△BCP与△DEP∽△PCB.

（3）找到B点关于AC的对称点F，当D与F在同一直线上时，PD+PB最短.

（1）∵DE⊥AC ∠AED=90°=∠ACB 又∠A公共

∴△ADE∽△ABC ∴ 即，CE=12.

（2）分两种情况：①△DEP∽△BCP，此时，即，a=

②△DEP∽△PCB，此时，即，，

∴a的值为或6+4或6-.

（3）

延长BC至点F，使CF=CB，连接DF交CE于点P，如图：

∠DPE=∠CPF，∠DEP=∠PCF，则△DEP∽△FCP

于是，得 a=.

此时BP=，DP=，最小值为13.