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【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A80),C06)作矩形OABC,连接OB,点DOB的中点,点E是线段AB上的动点,连接DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连接EF.已知点EA点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.

1)如图1,当t=3时,求DF的长.

2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出的值.

3)连接AD,当AD△DEF分成的两部分的面积之比为12时,求相应的t的值.

【答案】12)不变,3t=

【解析】

1)当t=3时,点EAB的中点,由三角形中位线定理得出DEOADE=OA=4,再由矩形的性质证出DEAB,得出∠OAB=DEA=90°,证出四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;

2)作DMOAMDNABN,证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°DMABDNOA,由平行线得出比例式,由三角形中位线定理得出DM=AB=3DN=OA=4,证明△DMF∽△DNE,得出的值;

3)作作DMOAMDNABN,若AD△DEF的面积分成12的两部分,设ADEF于点G,则点GEF的三等分点;

①当点E到达中点之前时,NE=3-t,由△DMF∽△DNE得:MF=3-t),求出AF=4+MF=,得出G),求出直线AD的解析式为y=,把G)代入即可求出t的值;

②当点E越过中点之后,NE=t-3,由△DMF∽△DNE得:MF=,求出AF=4-MF=,得出G),代入直线AD的解析式y=求出t的值即可.

解:(1)当t=3时,点EAB的中点,

A80),C06),

OA=8OC=6

∵点DOB的中点,

DEOADE=OA=4

∵四边形OABC是矩形,

OAAB

DEAB

∴∠OAB=DEA=90°,

又∵DFDE

∴∠EDF=90°,

∴四边形DFAE是矩形,

DF=AE=3

2的大小不变;

理由:如图2所示:作DMOAMDNABN

∵四边形OABC是矩形,

OAAB

∴四边形DMAN是矩形,

∴∠MDN=90°DMABDNOA

∵点DOB的中点,

MN分别是OAAB的中点,

DM=AB=3DN=OA=4

∵∠EDF=90°

∴∠FDM=EDN

又∵∠DMF=DNE=90°

∴△DMF∽△DNE

3)作DM⊥OAMDN⊥ABN

AD△DEF的面积分成12的两部分,

ADEF于点G,则点GEF的三等分点;

①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3-t

△DMF∽△DNE得:MF=

∵点GEF的三等分点,

G),

设直线AD的解析式为y=kx+b

A80),D43)代入得:

解得:

∴直线AD的解析式为:

把点G)代入得:

②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t-3

DMF∽△DNE得:MF=

∵点GEF的三等分点,

G),

把点G代入直线AD的解析式

解得:

综合上述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为12时,的值为.

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