【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连接OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连接DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连接EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出的值.
(3)连接AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
【答案】(1)(2)不变,(3)t=或
【解析】
(1)当t=3时,点E为AB的中点,由三角形中位线定理得出DE∥OA,DE=OA=4,再由矩形的性质证出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°,证出四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3即可;
(2)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,由平行线得出比例式,,由三角形中位线定理得出DM=AB=3,DN=OA=4,证明△DMF∽△DNE,得出的值;
(3)作作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,NE=3-t,由△DMF∽△DNE得:MF=(3-t),求出AF=4+MF=,得出G(,),求出直线AD的解析式为y=,把G(,)代入即可求出t的值;
②当点E越过中点之后,NE=t-3,由△DMF∽△DNE得:MF=,求出AF=4-MF=,得出G(,),代入直线AD的解析式y=求出t的值即可.
解:(1)当t=3时,点E为AB的中点,
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6,
∵点D为OB的中点,
∴DE∥OA,DE=OA=4,
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四边形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)的大小不变;
理由:如图2所示:作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴四边形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴,,
∵点D为OB的中点,
∴M、N分别是OA、AB的中点,
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN,
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,
∴.
(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,
设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3-t,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
设直线AD的解析式为y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得:,
解得:,
∴直线AD的解析式为:,
把点G(,)代入得:;
②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t-3,
由△DMF∽△DNE得:MF=,
∴,
∵点G为EF的三等分点,
∴G(,),
把点G代入直线AD的解析式,
解得:;
综合上述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,的值为或.
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【题目】为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査(问卷调査表如图所示),并根据调查结果绘制了图1、图2两幅统计图(均不完整),请根据统计图解答下列问题.
(1)本次接受问卷调查的学生有____名.
(2)补全条形统计图.
(3)扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为_____.
(4)该校共有4000名学生,根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.
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【题目】新春佳节,电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮,已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元,市场调查发现,该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系:y=﹣2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润,又想买得快.那么销售单价应定为多少元?
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=16,BC=4,D为AB上一点,DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点,设CP的长为a.
(1)求CE的长;
(2)a为何值时,△DEP与△BCP相似?
(3)当PD+PB有最小值时,求a的值及最小值.
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【题目】已知:如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,AD=DC,DC2=DEDB,求证:
(1)△BCE∽△ADE;
(2)ABBC=BDBE.
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【题目】如图,已知:二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函数y=x﹣3的图象交x轴于点B,交y轴于点C,∠OCA的正切值为.
(1)求二次函数的解析式与顶点P坐标;
(2)将二次函数图象向下平移m个单位,设平移后抛物线顶点为P′,若S△ABP=S△BCP,求m的值.
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【题目】如图,在△ABC 中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段 BC上,连接AD交线段PQ于点E,且,点G在BC延长线上,∠ACG的平分线交直线PQ于点F.
(1)求证:PC=PE;
(2)当P是边AC的中点时,求证:四边形AECF是矩形.
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