【题目】如图,已知:二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函数y=x﹣3的图象交x轴于点B,交y轴于点C,∠OCA的正切值为.
(1)求二次函数的解析式与顶点P坐标;
(2)将二次函数图象向下平移m个单位,设平移后抛物线顶点为P′,若S△ABP=S△BCP,求m的值.
【答案】(1)解析式为y=x2﹣2x,顶点P的坐标为(1,﹣1);(2)m=或m=.
【解析】
(1)先由直线解析式求出点B,C坐标,利用∠OCA正切值求得点A坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)由平移知点P`坐标为(1,-1-m),设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M
知M(1,- ),先得出S△ABP′=ABP′H=×4(m+1)=2(m+1),S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′MOB=3|﹣m|,根据S△ABP=S△BCP列出方程求解可得
解:(1)∵y=x﹣3,
∴x=0时,y=﹣3,
当y=0时, x﹣3=0,解得x=6,
∴点B(6,0),C(0,﹣3),
∵tan∠OCA=,
∴OA=2,即A(2,0),
将A(2,0)代入y=x2+bx,得4+2b=0,
解得b=﹣2,
∴y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
则抛物线解析式为y=x2﹣2x,顶点P的坐标为(1,﹣1);
(2)如图,
由平移知点P′坐标为(1,﹣1﹣m),
设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M,则M(1,﹣),
S△ABP′=ABP′H=×4(m+1)=2(m+1),
S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′MOB=|﹣1﹣m+|×6=3|﹣m|,
∴2(m+1)=3|﹣m|,
解得m= 或m= .
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【题目】一跨河桥,桥拱是圆弧形,跨度(AB)为16米,拱高(CD)为4米,求:
(1)桥拱半径.
(2)若大雨过后,桥下河面宽度(EF)为12米,求水面涨高了多少?
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【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连接OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连接DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连接EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
(1)如图1,当t=3时,求DF的长.
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出的值.
(3)连接AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△的顶点、在坐标轴上,点的坐标是(2,2).将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1,点落在函数y=-.如果此时四边形的面积等于,那么点的坐标是________.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知正方形的顶点的坐标为,点的坐标为,顶点在第一象限内,抛物线(常数)的顶点为正方形对角线上一动点.
(1)当抛物线经过两点时,求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与直线相交于另一点(非抛物线顶点,且在第一象限内),求证:长是定值;
(3)根据(2)的结论,取的中点,求的最小值.
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【题目】为了解学生对学校饭菜的满意程度,某中学数学兴趣小组对在校就餐的学生进行了抽样调查,得到如下不完整的统计图.
请结合图中信息,解决下列问题:
(1)此次调查中接受调查的人数为人,其中“非常满意”的人数为_ _
(2)兴趣小组准备从“不满意”的4位学生中随机抽取2位进行回访,已知这4位学生中有2位男生2位女生,请用列举法求出随机抽取的学生是一男一女的概率.
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【题目】如图Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点,P是直线BC上一点,把△BDP沿PD所在直线翻折后,点B落在点Q处,如果QD⊥BC,那么点P和点B间的距离等于____.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,tanD=2,点E是射线CD上一动点(不与点C重合),将△BCE沿着BE进行翻折,点C的对应点记为点F.
(1)如图1,当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时,求CE的长.
(2)如图2,当点E在线段CD上时,设CE=x,,求y与x之间的函数关系式,并写出定义域.
(3)如图3,联结AC,线段BF与射线CA交于点G,当△CBG是等腰三角形时,求CE的长.
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