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【题目】如图,梯形ABCD中,ABCD,∠ABC90°AB6BC8tanD2,点E是射线CD上一动点(不与点C重合),将△BCE沿着BE进行翻折,点C的对应点记为点F

(1)如图1,当点F落在梯形ABCD的中位线MN上时,求CE的长.

(2)如图2,当点E在线段CD上时,设CEx,求yx之间的函数关系式,并写出定义域.

(3)如图3,联结AC,线段BF与射线CA交于点G,当△CBG是等腰三角形时,求CE的长.

【答案】(1)(2)(0x≤10)(3)CE的长为

【解析】

(1)BEMN的交点记为点O,根据折叠的性质以及梯形中位线定理,可判定EFO是等边三角形,即可得出FEB60°,即CEB60°,进一步在Rt△ECB中,利用60°角的三角函数即可求出EC的长;

(2)BECF的交点记为点P,根据BECF的垂直平分线,可得,易证△ECP∽△CBP,然后利用相似三角形的性质即可得出yx之间的函数关系式;

(3)当△CBG是等腰三角形时,分三种情况进行讨论:①GBGC;②CBCG;③BCBG,分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系,求得CE的长.

解:(1)BEMN的交点记为点O,如图1

∵梯形ABCD中,ABCD,∠ABC90°,∴∠C90°

由翻折得∠CEB=∠FEB,∠EFB=∠C90°

MN是梯形ABCD的中位线,∴MNABCD

∴∠CEB=∠FOE

∴∠FEB=∠FOE,∴FEFO

∵∠EFB90°EOBO,∴FOEO

FEFOEO,∴△EFO是等边三角形,

∴∠FEB60°,∴∠CEB60°

∴在RtECB中,

(2)BECF的交点记为点P,如图2

由翻折得,BECF的垂直平分线,

即∠EPC=∠BPC90°

SEFC2SEPCSBFC2SBPC

∵∠ECP+BCP90°,∠CBP+BCP90°,∴∠ECP=∠CBP

又∵∠EPC=∠BPC90°,∴△ECP∽△CBP

(0x≤10)

(3)当△CBG是等腰三角形时,存在三种情况:

①当GBGC时,延长BFCD于点H,如图3

AB6BC8ABC90°,∴AC10

GBGC,∴∠GBC=∠GCB

∵∠HCB90°,∴∠CHB+GBC90°

∵∠ABC90°,∴∠CAB+GCB90°

∴∠CHB=∠CAB,∴

∵∠ABC90°,∴∠ACB+CAB90°,∠ABG+GBC90°

∴∠CAB=∠GBA,∴GAGB,∴GAGC

ABCD,∴,∴CHAB6

CEx,∴EFxHE6x

∵∠HFE90°,∴

解得,即

②当CBCG8时,AG1082

ABCD,∴,∴CH4AB24

CEx,∴EFxHE24x

∵∠HFE=∠HCB90°,∴

解得,即

③当BCBG时,F点与G点重合,如备用图,

由翻折可得,BE垂直平分线段GC

∵∠CBE+BCA90°=∠CAB+BCA,∴∠CBE=∠CAB

,解得

综上所述,CE的长为

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5

4

3

2

0

1

2

3

4

5

1.969

1.938

1.875

1.75

1

0

2

1.5

0

2.5

小明根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.

下面是小明的探究过程,请补充完整:

1)如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;

2)根据画出的函数图象,写出:

对应的函数值约为   

该函数的一条性质:   

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3)已知抛物线经过点,与轴交于点

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②求关于的函数解析式;

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