Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．

（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；

（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析

【解析】

本题主要考查菱形及全等三角形的应用

（1）先由MD为BE的中位线，可证MD∥EN且MD=BE，又∠GDN+∠DNE＝180°，可证四边形MDNE为平行四边形，从而可证平行四边形DMEN为菱形

（2）取BE中点F，连接DM，DF，利用（1）的结论可证△DMG≌△DFN，即可得出答案

证明：（1）如图2中，

∵AM＝ME．AD＝DB，

∴DM∥BE，

∴∠GDN+∠DNE＝180°，

∵∠GDN＝∠AEB，

∴∠AEB+∠DNE＝180°，

∴AE∥DN，

∴四边形DMEN是平行四边形，

∵，

∴DM＝EM，

∴四边形DMEN是菱形．

（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．

由（1）可知四边形EMDF是菱形，

∴∠AEB＝∠MDF，DM＝DF，

∴∠GDN＝∠AEB，

∴∠MDF＝∠GDN，

∴∠MDG＝∠FDN，

∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、

在Rt△ACE中，∵AM＝ME，

∴CM＝ME，

∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD，

∴∠DMG＝∠DFN，

∴△DMG≌△DFN，

∴DG＝DN．