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【题目】抛物线y=ax2+bx+ca0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点在(3,0)(4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①3ac0;② abc0; ③点是该抛物线上的点,则; 4a2bat2+btt为实数);正确的个数有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

根据抛物线的对称轴可得到4a=b,由x=1y>0可判断①,由抛物线开口方向、与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②,根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大,可判断③,由x=2时函数取得最大值可判断④.

∵抛物线的对称轴为直线

4ab=0,即4a=b

∵抛物线开口向下

a<0b<0,

∵与x轴的一个交点在(3,0)(4,0)之间,

∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(1,0)(0,0)之间,

∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c<0

abc<0,故②正确;

∵由②知,当x=1y>0,且b=4a

ab+c=a4a+c=3a+c>0

3ac<0,故①正确;

∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=2

∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大,

y1<y3<y2,故③错误;

由函数图象知当x=2时,函数取得最大值,

(t为实数),故④正确;

故选C.

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