【题目】如图,点C为线段BD上的一点,△ABC和△CDE是等边三角形.
(1)求证:AD=BE.
(2)以点C为中心,将△CDE逆时针方向旋转,旋转角为ɑ(0°<ɑ<360°).
①当ɑ为多少时DE∥AB?直接写出结果,不要求证明.
②当BC=6, CD=4时 ,设点E到直线AB的距离为y, 当ɑ为多少时,点E到直线AB的距离最小?求出最小值,并简洁说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)120°或300°;(3),
,证明见解析.
【解析】
(1)利用SAS证明△BCE≌△ACD,从而得到结论;
(2)①分两种情况:当CE旋转到与CB重合时,DE∥AB;当CE旋转到BC延长线上时,DE∥AB,从而进行分析即可;
②当点E旋转到AB边上的高线上时,到直线AB的距离最小,利用勾股定理可求出,再利用三角形三边关系及垂线段性质即可证明.
(1)证明:∵△ABC和△CDE是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴AD=BE;
(2)解:①情况一:当 时,DE∥AB,证明如下:
当 时,此时CE旋转到与CB重合,
∵△ABC和△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=∠ABC=60°,
∴DE∥AB(同位角相等,两直线平行);
情况二:当 时,DE∥AB,证明如下:
当 时,此时CE旋转到BC延长线上,
∵△ABC和△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=∠ABC=60°,
∴DE∥AB(内错角相等,两直线平行);
②如图,当时,点E旋转至点E',此时点E'到AB的距离最短,NC⊥AB,
在Rt△ANC中,AC=6,AN=,
∴NC=,
∴,
如图,Q为E旋转任意角度后所对应的点,根据三角形三边关系可知,CQ+QMMC,
根据垂线段最短可知,CE'+NE'MC
CQ+QM,当点Q与点E'重合时取等号,即:NE'≤QM,
所以当时,点E到直线AB的距离最小,最小值为
.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点E是BC边上一点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,_____.
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【题目】箱子里有4瓶牛奶,其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.
(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来;
(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①3a-c<0;② abc<0; ③点,
,
是该抛物线上的点,则
; ④4a-2b≥at2+bt(t为实数);正确的个数有()个
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,经几秒钟△PBQ与△ABC相似?试说明理由.
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【题目】如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线与
于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则DE:BC=______.
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【题目】如图,在中,
.点
是
中点,点
为边
上一点,连接
,以
为边在
的左侧作等边三角形
,连接
.
(1)的形状为______;
(2)随着点位置的变化,
的度数是否变化?并结合图说明你的理由;
(3)当点落在边
上时,若
,请直接写出
的长.
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