Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为⊙O一点，连接OD, 并延长DO交CG于点M，CM=GM.

（1）求证：∠GCD=2∠ADC

（2）过点G作GN⊥CD，交CD于点N,交⊙O于点T，过点O作OK⊥TG，交TG于点K,连接TC,求证：TC=2NK

（3）在（2）的条件下，连接BG，BG=11，CD=30，求sin∠CTN.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）利用垂径定理，等弧所对的圆周角相等进行证明；

（2）连接PC,利用垂径定理，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质进行证明；

（3）连接BC、BD，过点D作DH⊥BC垂足为H，过点D作DF垂直于GB的延长线于F，利用垂径定理，等弧所对的圆周角相等先证明，再证，然后设，再利用双勾股列出方程，求得，再设，则，再利用勾股定理得，解得,最后利用解得.

解：（1）

连接

∵

∴

∴∠CGD=2∠ADC

又∵连接OD并延长DO交CG于点M，且CM=GM

∴DM⊥GC

∴DC=DG

∴∠GCD=∠CGD =2∠ADC

（2）

延长DM交圆O于点P,连接PC

∵CM=GM.且DM经过点O

∴DP⊥CG，∠PCD=90°

又∵CD⊥GT,OK⊥GT,CD⊥AB

∴四边形KNEO是矩形

∴KN=OE,OE∥GT∥PC,

∵

∴

∴ ,OE==NK

∴

∵都是中点

∴

∴TC=2NK

（3）连接BC、BD，过点D作DH⊥BC垂足为H，过点D作DF垂直于GB的延长线于F

∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB

∴

∵CM=GM 且DP⊥CG

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

设

则

∴

则

解得或（不符合题意，舍去）

∴

∴

设，则

∴

解得：

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴