Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.

（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3）.

【解析】

（1）①由，推出，，推出四边形是平行四边形，再证明即可．

②先证明，推出，延长即可解决问题．

（2）．只要证明是等边三角形即可．

（3）结论：．如图3中，将绕点逆时针旋转得到，先证明，再证明是直角三角形即可解决问题．

（1）①证明：如图1中，

四边形是矩形，

，，

，

在和中，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

四边形是菱形．

②平分，

，

，

，

，

，

，，

，

．

（2）结论：．

理由：如图2中，延长到，使得，连接．

四边形是菱形，，

，，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

是等边三角形，

，

在和中，

，

，

，，，

，

，

，

，

是等边三角形，

在中，，，

，

．

（3）结论：．

理由：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，

，

四点共圆，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，，

，

，，

．