Question

【题目】（1）操作发现

如图1，在五边形中，，，，试猜想，，之间的数量关.小明地过仔细思考，得到如下解题思路：

将绕点逆时针旋转至.由，得，即点,，三点共线，易证_____，被，，之间的数量关系是_______；

（2）类比探究

如图2，在四边形中，，，点，分别在边，的延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明.

（3）拓展延伸

如图3，在中，，，点，均在边上，且，若，，则的长为_____.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，之间的数量关系是；证明见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；
（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．

（1）BC，CD，DE之间的数量关系为：DF=DE+BC，理由是：
如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，
∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，
故答案为：△AFD，CD=DE+BC；
（2）如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF-BE．

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，
则△ABE≌△ADE'，
∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，
∴∠EAE'=∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三点共线，
又∠EAF=∠BAD=∠EAE'
∴∠EAF=∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE=FE'，
又∵FE'=DF-DE'，
∴EF=DF-BE；
（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，则CD'=BD=2，

由（1）同理得，△AED≌AED'，．
∴DE=D'E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，
∴∠ECD'=90°，
在Rt△ECD'中，ED'===，即DE=，
故答案为：.