Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）若∠DAB=60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

（1）连结OC，如图，根据角平分线定义得∴∠DAC=∠OAC，加上∠OAC=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥DC，所以OC⊥DC，则可根据切线的判定定理得到结论；
（2）连结BC，如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得答案.

（1）证明： 连接OC

∵ OA=OC
∴ ∠OAC=∠OCA

∵ AC平分∠DAB
∴ ∠DAC=∠OAC
∴ ∠DAC=∠OCA
∴ OC∥AD
∴ ∠ADC+∠OCD=180°

∵ AD⊥CD

∴ ∠ADC =90°
∴ ∠OCD=90°

∴ OC⊥CD

又∵OC是⊙O的半径
∴ 直线CD是⊙O的切线;

（2）连接BC

∵ AB为⊙O的直径，

∴ ∠ACB=90°.

∵ AC平分∠DAB ， ∠DAB=60°，
∴ ∠CAB=30°.

∵ ⊙O的半径为3，

∴ AB=6.

∴ BC=3.

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2+BC2 =AB2

∴ AC2+32 = 62.

∴ AC=.