Question

【题目】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．

（1）求证：△ABM ∽△EMA；

（2）若AB＝2，BM＝1，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3

【解析】

（1）利用三角形两组对应角相等，可证三角形相似；

（2）先用勾股定理求出AM，在根据三角形相似的性质求出AE，最后DE=AE-AD即可求解.

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°

∵ME⊥AM，

∴∠AME=90°，

∴∠AMB+∠BAM=90°，∠BAM+∠EAM=90°，

∴∠AMB =∠EAM，∠ABC=∠AME =90°

.∴△ABM ∽△EMA，

（2）∵AB＝2，BM＝1

∴AM=

∵△ABM ∽△EMA

∴ 即：，解得AE=5；

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2

∴DE=AE-AD=5-2=3